PORTAL MATEMÁTICO: ANÁLISIS COMBINATORIO

1) Se lanza un par de dados hasta que aparezca un cuatro o un siete como suma de los puntos de las caras superiores de los dados ¿cuál es la probabilidad de que se obtenga cuatro antes que siete?

SOLUCIÓN

· A: Obtener cuatro como suma de los resultados del lanzamiento de un par de dados.

· B: Obtener siete como suma de los resultados del lanzamiento de un par de dados.

· C: No obtener ni cuatro ni siete como suma de los resultados del lanzamiento de un par de dados.

· D: Obtener un cuatro antes que un siete como suma de los resultados del lanzamiento de un par de dados. (tener en cuenta que en cada lanzamiento se lanza un par de dados)

El total de formas estará dado por:

ü Que en el primer lanzamiento del par de dados se obtenga 4 : P=1/12

ü Que en el primer lanzamiento del par de dados no se obtenga 4 ni 7 y que en el segundo lanzamiento del par de dados se obtenga el 4: P=(3/4)(1/12)

ü Que en el primer lanzamiento del par de dados no se obtenga 4 ni 7 , que en el segundo lanzamiento del par de dados tampoco se obtenga 4 ni 7 y que en el tercero si se obtenga el 4: P=(3/4)(3/4)(1/12)

así sucesivamente hasta el infinito ya que el proceso indica que se va a lanzar el par de dados hasta que aparezca en este caso 4 antes que el 7

RPTA= 1/3

1)María tiene 6 amigos y durante 18 días invitara a su casa a tres de ellos de modo que el grupo no se repita ni una sola vez ¿de cuantas maneras diferentes se puede hacer la invitación?

SOLUCIÓN

Lo primero que haremos es averiguar cuántos grupos diferentes de tres personas se puede formar con los 6 amigos, por lo que tomaremos será una combinación de 6 en 3

Sabiendo que son 20 grupos diferentes los que se puede formar, lo que ahora haremos es averiguar de cuantas formas diferentes se puede seleccionar un grupo para los 18 días que durara la invitación.
·         El primer día puede escoger cualquiera de los 20 grupos diferentes
·         El segundo día puede escoger cualquiera de los 19 grupos restantes
·         El tercer día puede escoger cualquiera de los 18 grupos restantes
·         El cuarto día puede escoger cualquiera de los 17 grupos restantes
·         ..
·         ..
·         ..
·         ..
·         El decimo octavo día puede escoger cualquiera de los 3 grupos restantes
Entonces el total de formas diferentes en que se puede realizar la invitación será

   20x19x18x17x….x5x4x3=1x2x10 x19x18x17x….x5x4x3=10x19! RPTA: 10x19!

2) Una moneda que esta marcada con los números 2 y3 en vez de cara y sello se arroja cinco veces ¿de cuantas formas diferentes la suma de los resultados sera 12?

SOLUCIÓN

la única manera en que al lanzar 5 veces una moneda y obtenga en la suma de los dados 12 es:
2+2+2+3+3=12 son tres veces 2 y dos veces 3

UNA FORMA:

podemos tomar una permutacion con elementos repetidos

OTRO MÉTODO

Razonemos si al lanzar 5 veces una moneda en tres de los lanzamientos salio el numero 2 entonces es de suponer que en los otros dos lanzamientos el numero que tubo que salir fue la cifra 3 por lo que solo tomamos una combinación de 5 en 3

OTRO MÉTODO

Razonemos si al lanzar 5 veces una moneda en dos de los lanzamientos salio el numero 3 entonces es de suponer que en los otros tres lanzamientos el numero que tubo que salir fue la cifra 2 por lo que solo tomamos una combinación de 5 en 2

De nueve números positivos y seis números negativos se escogen al azar cuatro números y se les multiplica ¿de cuantas formas diferentes se puede obtener un numero positivo?

SOLUCION

tener presente que la única manera de obtener un numero positivo es:

los cuatro números positivos: Combinación de nueve en cuatro

los cuatro números negativos: combinación de seis en cuatro

dos números positivos y dos números negativos: combinación de nueve en dos y combinación de seis en dos

total de formas : 126+15+540 = 381

RPTA: 381

Se tiene una escalera de nueve escalones ; si se sube de uno o dos escalones por vez ¿De cuantas formas diferentes se puede subir la escalera?

SOLUCION

podrá subir de una en una: 1;1;1;1;1;1;1;1;1= 1 forma

podrá subir 1 paso de dos escalones y 7 pasos de uno en uno: 2;1;1;1;1;1;1;1= 8!/7!=8 formas diferentes

podrá subir 2 pasos de dos escalones y 5 pasos de uno en uno: 2;2;1;1;1;1;1= 7!/5!.2!=21 formas diferentes

podrá subir 3 pasos de dos escalones y 3 pasos de uno en uno: 2;2;2;1;1;1= 6!/3!.3!=20 formas diferentes

podrá subir 4 pasos de dos escalones y 1 pasos de uno en uno: 2;2;2;2;1= 5!/4!.1!=5 formas diferentes

tener presente que a partir del segundo punto se trata de permutacion con elementos repetidos por lo que hacemos es aplicar la formula de permutacion con elementos repetidos

total de formas diferentes 1+8+21+20+5=55

RPTA: 55

¿De cuantas maneras diferentes se pueden sentar cinco de nueve personas alrededor de una mesa de cinco asientos, tal que cuatro de ellos esperen de pie?

SOLUCION

Tener presente que en la mesa solo hay cinco lugares que serán ocupados por cinco personas de las nueve que hay , por lo tanto formaremos todos los grupos de cinco personas diferentes que se puedan formar : combinación de 9 en 5

De todos esto grupos lo que haremos es averiguar de cuantas maneras diferentes se podrán sentar un grupo alrededor de la mesa circular Pc(5) =4!=24 maneras diferentes de sentarse uno de los 126 grupos diferentes.

Por lo que el total de formas diferentes de sentarse sera 24x126=3024

Juan va a comprar 10 chompas y existen cuatro modelos diferentes. Si debe llevar al menos uno de cada modelo.¿cuantas opciones de comprar tiene juan?

a) 72 b) 88 c) 96 d) 64 e) 84

SOLUCION

Sean los modelos diferentes: A; B; C y D
Lo que vamos a hacer es primero garantizar la condición del problema , poniendo los cuatro modelos diferentes de las 10 chompas que vamos a llevar así :

A; B; C; D;_ ;_ ;_ ;_ ;_ ;_

De esta manera garantizamos la existencia de los cuatro modelos diferentes ,quedando por escoger grupos de 6 chompas de las cuatro modelos diferentes que hay, donde algunas serán del mismo modelo necesariamente, por lo que trabajaremos una combinación con repetición de 4 en 6